Szeregi Fouriera

Rozdział 3 Zespolony Szereg Fouriera
Rozdział 3.1 Funkcja zespolona exp(jωt) jako wirujący wektor
W automatyce, elektrotechnice i w wielu innych dziedzinach ciągle pojawia się funkcja zespolona exp(jωt).
Zobacz jej animację.  Pamiętaj tylko, że wrócisz z niej do artykułu klikając windowsowy przycisk “powrót do poprzedniej strony”.

Rys. 3-1
Funkcja zespolona z=1exp(jωt) jako wirujący wektor ω=2.62/sec
Kliknij  ANIMACJA–>autor Chetvorno
Widzisz wirujący czarny punkt z prędkością kątową ω=2.62/sec, czyli z okresem T=2π/ω≈2.4sek. Sprawdź to stoperem, mierząc np. czas 10 obrotów. Położenie obracającego punktu w czasie t, to właśnie dokładnie punkt z=1exp(jωt) na płaszczyźnie liczb zespolonych.
Np. dla t=0 sek położenie z=1+j0 ,a dla ωt=π/3=60º jest w przybliżeniu jak  na Rys. 3-1. Ot, takie sobie 2 fotografie pstryknięte w 2 różnych czasach t.
Położenia możesz też obliczyć korzystając ze wzoru Eulera:
exp(jωt)=cos(ωt)+jsin(ωt)
Np dla ωt=0 i ωt=π/2=9
exp(j0)=1+j0
exp(jπ/2)=0+j1

Im większe ω tym szybciej obraca się czarny punkt

Rozdział 3.2 Funkcja zespolona c*exp(jωt) jako wirujący wektor

Rys. 3-2
c*exp(jωt)
jako wirujący wektor
Wiemy już, że exp(jωt) jest wirującym wektorem o długości 1. Jest to niebieski wektor w stanie początkowym dla ωt=0 oraz po czasie t, tu np. gdy faza ωt=π/3=60º. Jest oczywiste, że 2*exp(jωt) będzie wektorem o długości 2, zaś 3*exp(jωt) o długości itd… A co z wyrażeniem c*exp(jωt), gdy c jest liczbą zespoloną np. c=1.8+0.4j? Wektor c*exp(jωt) też będzie będzie wirował, a stanem początkowym jest właśnie c jako c*exp(jωt) dla ωt=0.

Rozdział 3.3 Składowe a1cos(1ωt) i b1sin(1ωt) jako wirujące wektory
Weźmy pod uwagę składowe a1cos(1ωt) i b1sin(1ωt) ze wzoru Rys. 2-1 z poprzedniego rozdziału.
Ułatwią nam przejście z Trygonometrycznego Szeregu Fouriera na Zespolony Szereg Fouriera.

Rys.3-3
Składowa a0 jest stałą zaś a1,b1,a2,b2… to  amplitudy odpowiednich  cosinusoid/sinusoid. Podstawowa pulsacja odpowiada okresowi T funkcji f(t). Jeżeli parametry a0,a1,b1,a2,b2… są dowolne to mamy zwykły wzór na sumę cosinusoid/sinusoid o pulsacjach 1ω, 2ω, 3ω… i  różnych amplitudach. A gdy współczynniki są obliczone wg wzoru Rys. 2-12 z Rozdziału 2.2, to f(t) jest właśnie Trygonometrycznym Szeregiem Fouriera.
Załóżmy, że a1=1 i b1=0.7 zaś pulsację np. ω=2.4/sek zmierzyliśmy wcześniej stoperem.
Czyli szukamy wirujących wektorów reprezentujących przebieg czasowy 1cos(3.3t)+0.7sin(3.3t).
Wektory możemy też traktować tu jako liczby zespolone.

Rys.3-4
Składowe a1cos(1ωt) i b1sin(1ωt) jako rzuty wirujących wektorów z1z2 na oś rzeczywistą Re z.
Rys. 3-4a
Wirujące wektory z1z2 i ich suma c1 w stanie początkowym, czyli dla 1ωt=0
z1=a1=1
z2=-jb1=-j0.7
c1=z1+z2=1-j0.7–>
patrz*Uwaga
Rys. 3-4
b

Wirujące wektory z1z2 i ich suma c1 po czasie t. Tu akurat t jest takie, że 1ωt=π/3=60º.
Po czasie t wirujące wektory to:
z1*exp(j1ωt)=a1*exp(jωt)=1*exp(j1ωt)
z2*exp(jωt)=-jb1*exp(1jωt)=-j0.7*exp(j1ωt)
c1=z1+z2=(a1-jb1)*exp(j1ωt)=(1-j0.7)*exp(j1ωt)
Najważniejszy wniosek
Wyrażenie a1cos(1ωt)+b1sin(1ωt) ze wzoru Rys. 3-1a to rzut wirującego wektora (a1-jb1)*exp(exp(j1ωt) na oś liczb rzeczywistych!
Albo inaczej
a1cos(1ωt)+b1sin(1ωt) to część rzeczywista funkcji zespolonej (a1-jb1)*exp(j1ωt)
Albo jeszcze inaczej
a1cos(1ωt)+b1sin(1ωt) =Re z{ (a1-jb1)*exp(j1ωt)}
Dowodem tego jest szkolna trygonometria z Rys. 3-4b gdzie długości wirujących wektorów niebieskiego i zielonego
to a1=1 i b1=0.7.
Wirującym wektorom odpowiadają poniższe przebiegi czasowe.

Rys. 3-5
Przebiegi czasowe sinusoidalne odpowiadające wirującym wektorom z Rys. 3-4
*Uwaga
Liczbę tę możemy też przedstawić w postaci modułu |c1|≈1.221 i fazy φ≈-35º lub równoważnie w postaci Eulera 1.221*exp(-j35º).
Moduł 1.221 to Pitagoras z 1 i 0.7
zaś φ1=arctg(-0.7/1)≈-35º.  Sprawdź kalkulatorem.

Rozdział 3.4  Zespolony Szereg Fouriera dla 3 harmonicznych
Rozdział 3.4.1 Wersja z rzutem na oś rzeczywistą, inaczej “Wersja z Re z”
Zaczniemy od Szeregu Fouriera w którym f(t) ma tylko  3  harmoniczne. Tak będzie łatwiej:
f(t)=a1cos(1ωt)+b1sin(1ωt)+a2cos(2ωt)+b2sin(2ωt)+a3cos(3ωt)+b3sin(3ωt)
Tu mogą pojawić się wątpliwości.
Po pierwsze
Po co rozbijać na Szereg Fouriera funkcję f(t) która sama jest Szeregiem Fouriera? Współczynniki a0, a1,b1,a2,b2 a3,b3 widać w funkcji f(t) i nie musisz już korzystać ze wzorów z Rys. 2-12 z poprzedniego rozdziału. Tak, ale robimy to tylko ze względów dydaktycznych. Zresztą, gdyby uwierało, to potraktuj f(t) jak każdą inną funkcję i wstaw ją do wzoru z Rys. 2-12. Otrzymasz tę samą funkcję f(t)!
Po drugie
Dlaczego jest tu 6 składowych a nie 3?- Bo każda pojedyncza harmoniczna ma składową cosinusową i sinusową.
Na przykładzie wygląda to tak:
f(t)=1cos(1ωt)+0.2sin(1ωt)+0.6cos(2ωt)+0.4sin(2ωt)+0.4cos(3ωt)+0.4sin(3ωt)
czyli
a1=1 b1=0.2
a2=0.6 b2=0.4
a3=0.4 b3=0.4
Pozostałe współczynniki a0,a4,b4,a5,b5…=0
Podstawowa pulsacja ω może być dowolna, ale jeżeli lubisz konkret, to załóż ω=2.4/sek tak jak w animacji Rys. 3-1.
Współczynnikom c1, c2, c3 można przyporządkować wektory-liczby zespolone:
c1=a1-jb1=1-0.2j
c2=a2-jb2=0.6-0.4j
c3=a3-jb3=0.4-0.4j
Zaś funkcji f(t) wirujące wektory-liczby zespolone
c1*exp(j1ωt)
c2*exp(j2ωt)
c3*exp(j3ωt)
Rys. 3-4 wynika:
a1cos(1ωt)+b1sin(1ωt)=
Re z {(a1-jb1)*exp(j1ωt)} >czyli część rzeczywista (a1-jb1)*exp(j1ωt)
Analogicznie dla 2ωt,3ωt
a2cos(2ωt)+b2sin(2ωt)=Re z {(a2-jb2)*exp(j2ωt)}
a3cos(3ωt)+b3sin(3ωt)=Re z {(a3-jb3)*exp(j3ωt)}
Czyli funkcja czasowa f(t) to część rzeczywista sumy wirujących wektorów
c1*exp(j1ωt)+c2*expj2ωt)+c3*exp(j3ωt)
gdzie c1=a1-jb1, c2=a2-jb2, c3=a3-jb3

Rys. 3-6
Rys. 3-6a Wirujące wektory odpowiadające funkcji f(t)
Rys. 3-6b
Funkcja f(t) jako wynik sumy harmonicznych
c1, c2c3 to wirujące wektory c1*exp(j1ωt),c2*exp(j2ωt) i c3*exp(j3ωt) w stanie początkowym t=0, oraz po czasie odpowiadającemu fazom 1ωt=30º, 2ωt=60º i 3ωt=90ºWidać że po tym samym czasie wektor c3, który był najbardziej “opóźniony”, obrócił się najwięcej. Nic dziwnego, skoro ma największą prędkość obrotową 3ωt. Zauważ, że wirujące wektory c1*exp(j1ωt),c2*exp(j2ωt) i c3*exp(j3ωt) mają dla t=0 wartość c1=1-0.2, c2=0.6-0.4j i c3=0.4-0.4j. Wystarczy podstawić t=0 do wzorów.
Suma rzutów wirujących wektorów na oś Re z jest właśnie funkcją f(t)
Czyli:
f(t)=Re  {c1*exp(j1ωt)+c2*exp(j2ωt)+c3*exp(j3ωt)}
Dwie prywatne uwagi
1.
Po okresie T wirujące wektory wrócą do stanu początkowego c1c2, c3. Tyle tylko że wektor niebieski wykona 1zielony 2
a czerwony 3 obroty. Czyli wyrażenie c1*exp(j1ωt) + c2*exp(j2ωt) + c3*exp(j3ωt) jest zespoloną  funkcją okresową i T=2π/ω.
2. Wirujące wektory przypominają trochę układ słoneczny ze Słońcem w (0,0) i z orbitami:
c1*exp(j3ωt)orbita Wenus (najmniejsza)
c2*exp(j2ωt)orbita Ziemi
c3*exp(j1ωt)orbita Marsa (największa)
Analogia nie jest pełna, bo prędkości kątowe planet nie są takimi wielokrotnościami. Za to Mars ma najmniejszą prędkość kątową a Wenus największą i  w tym wirujące wektory są podobne do planet.
Rys.3-6 przedstawia poszczególne wirujące wektory, ąle nie widać ich sumy!
Wady tej nie ma wersja z Rys. 3-7 w którym sumą  wirujących wektorów  jest koniec wektora c3*exp(j3ωt).

Rys. 3-7
Suma
wirujących wektorów c1*exp(j1ωt)+ c2*exp(j2ωt) + c3*exp(j3ωt)
Pierwszy niebieski wektor wiruje wokół (0,0), zielony wokół końca niebieskiego czerwony wokół końca zielonego. Zauważ, że kolejne prędkości są coraz większe. Przypomina to koniec strzelającego bata przekraczającego barierę dźwięku.
Dolny wektor to stan początkowy dla t=0, a górny to stan po czasie t odpowiadającym fazie 1ωt=30º niebieskiego wektora lub, co na jedno wychodzi dla fazy 2ωt=60º zielonego i 3ωt=90º czerwonego.
Po okresie T gdy:
niebieski wykona 1 obrót
-zielony 2 obroty
czerwony 3 obroty
znowu będzie stan początkowy!
Wracając do astronomii to tym razem:
niebieski
jest Ziemią krążącą wokół Słońca(0,0)
zielony 
jest Księżycem krążącym wokół Ziemi
czerwony jest sztucznym satelitą krążącym wokół Księżyca.
Wirującym wektorom c1*exp(j1ωt), c2*exp(j2ωt) i c3*exp(j3ωt) na Rys. 3-7 towarzyszą ich rzuty na oś Re z, czyli:
a1cos(1ωt)+b1sin(1ωt)
a2cos(2ωt)+b2sin(2ωt)
a3cos(3ωt)+b3sin(3ωt)
Dlatego oczywiste jest że:
f(t)=Re  {(a1-jb1)*exp(1jωt)+(a2-jb2)*exp(2jωt)+(a3-jb3)*exp(3jωt)}
czyli
f(t)=Re  {c1*exp(1jωt)+c2*exp(2jωt)+c3*exp(3jωt)}
Uwaga
Re 
{liczba zespolona} oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej. np Re{2+3j} = 2.

Podsumowanie

Rys. 3-8
Zespolony Szereg Fouriera dla f(t) 3 harmonicznymi
Rys. 3-8a
Wzór ogólny gdy f(t) ma 3 dowolne harmoniczne
Rys. 3-8b
Wzór szczególny gdy f(t) ma 3 konkretne harmoniczne

Rozdział 3.4.2 Wersja przeciwnie wirujących wektorów, inaczej wersja “bez Re z”
Spójrz jeszcze raz na Rys. 3-7. Przedstawia on sumę wirujących wektorów c1*exp(j1ωt)+ c2*exp(j2ωt)+c3*exp(j3ωt) oraz jej rzut na oś Re z, tu dla fazy 1ωt=30º. Czyli c1=1-0.2j obróciło się o 30º. Odpowiada to równaniu z Rys. 3-9a.

Rys. 3-9
równoważne wzory na f(t) harmonicznymi.
Jeżeli we wzorze Rys.3-9a:
1.
Wirujący wektor niebieski zastąpimy
jego  połową–>(0.5-0.1j)exp(j1ωt)
– “sprzężoną połową”
> (0.5+0.1j)exp(-j1ωt) 
2. To samo zrobimy z wektorem zielonym iczerwonym.
To otrzymamy równoważny wzór Rys. 3-9b
Zauważ, że chociaż nowy wzór jest dłuższy, to od razu daje liczbę rzeczywistą!
Rys. 3-9c jest uogólnieniem wzoru Rys. 3-9b. Pamiętaj tylko żec1, c2 i c3 to połówki c1, c2 i c3 wzoru z Rys. 3-8a!
Interpretacją wzoru Rys.3-9a jest Rys.3-10 z parami przeciwnie wirujących wektorów.

Rys. 3-10
f(t) jako suma wirujących przeciwnie par wektorów-współczynników c.
A – wzór ogólny dla dowolnych par wektorów c(-3)c(-2), c(-1)c1, c2 c3
– wzór szczególny dla konkretnych par wektorów
Już na pierwszy rzut oka widać że:
1. Dolne wirujące wektory to połówki dolnych wirujących wektorów z Rys.3-7 dla t=0.
2. Górne i dolne wirujące wektory to liczby sprzężone, też dla t=0.
3. Górne i dolne wektory wirują w przeciwnych kierunkach a ich suma to:
f(t)=a1cos(1ωt)+b1sin(1ωt)+a2cos(2ωt)+ b2sin(2ωt)+a3cos(3ωt)+ b3sin(3ωt)
Wyjaśnienie dla p.3
Wzór B to wirujące w przeciwnych kierunkach pary wektorów c(-1)c1    c(-2),c2 i c(-3),c3 “sfotografowane” na Rys.3-10 w chwili t=0.
Np. para(0.5-j0.1)exp(j1ωt) i(0.5+j0.1)exp(-j1ωt) daje sumę = niebieski wektor na osi Re z.   
Jest on równy niebieskiemu poziomemu wektorowi na osi Re z na Rys.3-10 czyli 1cos(1ωt)+0.2sin(1ωt). Wektor ten będzie poruszał zgodnie z tym wzorem tylko po osi Re z.
Analogicznie jest z wirującą parą zieloną i czerwoną.
Suma wszystkich wirujących wektorów da nam szczególny wzór B i ogólny wzór A.

Rozdział 3.5  Zespolony Szereg Fouriera-wzór ogólny z częścią rzeczywistą
Rozdział 3.5.1 Podstawy
A teraz najważniejsze
1. Weźmiesz dowolną funkcję okresową f(t) o okresie T
2. Oblicz pulsację podstawową ω=2π/T
3. Oblicz współczynniki a0,a1,b1,a2,b2,…an,bn…  a następnie współczynnik rzeczywisty ci zespolone  c1,c2,c3…cn…

Rys. 3-11
Wzory na współczynniki Fouriera
Współczynniki a0, c1,a1,c2,a2…an, bn… liczysz więc tak samo jak na Rys. 2-12 rozdziale 2.
Teraz możemy już wyznaczyć ostateczny ogólny wzór na Zespolony Szereg Fouriera z częścią rzeczywistą.

Rys. 3-12
Wzór jest  uogólnieniem Rys.3-8a. Pojawiła się składowa stała c0. Niezbyt widoczna bo żółtego koloru.
Dokładnie przybliża funkcję f(t) tylko dla n=∞, ale praktycznie wystarczy kilkanaście, może trochę więcej, pierwszych składowych.
Każdy składnik c1*exp(1ωt),c2*exp(2ωt), c3*exp(3ωt), c4exp(4ωt)c∞*exp(∞ωt) jest jest wirującym wektorem tak jak na Rys. 3-13.

Rys.3-13
Żółty wektor c0 jest składową stałą i jako jedyny nie wiruje. Albo formalnie wiruje, ale z pulsacją ω=0. Pozostałe wirują coraz szybciej “każdy wokół końca poprzedniego” czyli pośrednio wokół końca stałego c0. Kolejne wektory są coraz krótsze, a ostatni c∞ ma najczęściej długość zerową i wiruje nieskończenie szybko! Im bliżej c∞ tym łamana na Rys.3-13 zbliża się do linii ciągłej! Rzut końca ostatniego wektora na oś rzeczywistą jest właśnie naszą funkcją okresową f(t).
Innymi słowy
Wektory sobie wirują a rzut punktu c∞ na oś rzeczywistą, porusza się dokładnie tak jak funkcja f(t)!
Tak jak nie ma ideałów w życiu, tak ostatnim wirującym wektorem jest np.  c20*exp(j20ωt) a nie c∞*exp(j∞t). To już w zupełności wystarcza, żeby w miarę dokładnie przybliżyć funkcję f(t).
Uwaga:  “Ostatni” wirujący  c∞*exp(j∞t) ma najczęściej długość zerową. Ale suma wszystkich wirujących wektorów, czyli punkt który wskazuje c∞*exp(j∞t), może też być w nieskończoności! Przekonasz się o tym za chwilę!

Rozdział 3.5.2 Przykład z falą prostokątną
Nic tak nie przemawia do wyobraźni jak konkretny przykład, np. z falą prostokątną. Został on dokładnie omówiony w rozdziałach 2.5 i 2.6 jako szereg trygonometryczny.
Wróć tam na chwilę. Fala prostokątna o pulsacji ω=2π (czyli T=1sek) to

Rys. 3-14
Szereg Trygonometryczny fali prostokątnej o ω=2π 1/sek.
Zauważ, że składowa stała c0=0, co jest oczywiste oraz
c2=c4=…=c2n=0 ponieważ fala prostokątna f(t) z Rys. 2-13 jest funkcją nieparzystną.
Ze współczynników przy sinusach/cosinusach na Rys. 3-14 oraz ze wzorów Rys. 3-11 wynika bezpośrednio że:
c1=-4j/π, c3=-4j/3π, c5=-4j/5π, c7=-4j/7π 
i Szereg Trygonometryczny Fouriera fali prostokątnej może być też przedstawiony jako  Szereg Zespolony Fouriera.
Zauważ, że nawet nie musiałeś liczyć całek. Ale gdybyś się uparł, bo lubisz 2 grzyby w barszczu, to wynik byłby identyczny.

Rys. 3-15
Zespolony Szereg Fouriera fali prostokątnej
Stan początkowy, czyli dla t=0 to kolejne pionowe wektory na dolnej półosi urojonej Re z.  Widoczne są tylko pierwsze, jako c1,c3,c5 i c7Wektory parzyste” c0,c2,c4,c6…, jak stwierdziliśmy wcześniej, są zerowe. Ostatni c∞, chociaż jego długość jest zerowa, leży w nieskończoności na ujemnym “końcu” osi urojonej Im z.  Tu przeczytaj uwagę końcową poprzedniego podrozdziału.
Pokazałem także stan wektorów gdy c1 obrócił się o 1ωt=60ºc3 o 3ωt=180º, c5
o 5ωt=300º, a c7o 7ωt=420º. Ewidentnie wektorc7exp(7jωt)jako najszybszy wykonał największy obrót (420º tj. pełen obrót+60º), zwłaszcza w porównaniu do najwolniejszego c1exp(1jωt). A jak odczytać f(t) jako sumę obracających się wektorów? Proszę bardzo, dla t=0 jest to rzut na oś Re z czyli f(0)=0, a dla odpowiadającemu obrotowi 1ωt=60º=π/6 też jest w przybliżeniu rzutem końca wektora c7exp(7jωt)na Re z.
Dlaczego w przybliżeniu? Bo nie uwzględniłem jeszcze pozostałych wektorów  c9exp(9jωt)…c∞exp(∞jωt) kończących się w skończonym punkcie c∞. Ten punkt leży gdzieś w pobliżu końca wektora c7exp(7jωt) i musisz go sobie jakoś wyobrazić.

Rozdział 3.5.3 Animacja fali prostokątnej z youtube
Kliknij trójkącik “play” youtube’a. Nick autora GLV.

Rys.3-16
Animacja Zespolonego Szeregu Fouriera fali prostokątnej
Wirujące 4 górne wektory to  4 składowe ze wzoru
f(t)=Re{c0+c1exp(j1ωt)+c3exp(j3ωt)+c5exp(j5ωt)+c7exp(j7ωt)}
a
“Układ Słoneczny z Ziemią i Księżycem i Satelitą” na dole to ich suma wektorowa.  Wykres czasowy po prawej to właśnie f(t). Ale żeby wszystko było lege artis tzn. aby f(t) było rzutem sumy wektorów na oś Re z, musisz jeszcze postawić monitor komputera pionowo na prawym boku. W wyobraźni oczywiście. Bo to że wektory obracają się w przeciwnym, niż zwykle kierunku to już sobie darujmy.
Świetnie są przestawione kolejne harmoniczne o malejących amplitudach i zwiększających się pulsacjach 1ωt, 3ωt, 5ωt i 7ωt a zwłaszcza suma wektorowa jako “układ słoneczny” z ze Słońcem, Ziemią, Księżycem i satelitą wokół Księżyca. Nawet kolory okręgów są prawie jak w naszym przykładzie. Tylko ostatni dla c7exp(j7ωt) jest buraczkowy a nie szary. Funkcja f(t) tylko przypomina falę prostokątną bo mamy tylko harmoniczne. Wyglądałoby to znacznie lepiej np. z 20.

Rozdział 3.5.4 Animacja różnych funkcji f(t)
Polecam wspaniałą stronę do badania Szeregu Fouriera dla kilku funkcji f(t) typu fala prostokątna, piła, impuls…
Możesz zmieniać funkcję f(t) oraz liczbę harmonicznych.
Autorem jest Pierre Guilleminot—>autor
Rozpracuj ją samodzielnie. Choćby dla samych wrażeń wizualnych.

Rys. 3-17
Przykład symulacji impulsu
ANIMACJA
Rozdział 3.6  Zespolony Szereg Fouriera-wzór ogólny bez części rzeczywistej
A teraz najważniejsze czyli drugie tadam!!!
1. Jeżeli weźmiesz dowolną funkcję okresową f(t) o okresie T
2. Obliczysz pulsację podstawową ω=2π/T
3. Obliczysz współczynniki a0,a1,b1,a2,b2,…an,bn…  a następnie współczynniki zespolone
...c(-n)…c(-3),c(-2),c(-1),c0,  c1,c2,c3…cn… wg. wzoru Rys. 3-18
to
otrzymasz wzór Zespolony Szereg Fouriera–>Rys.3-19
Uwaga dla powyższych oznaczeń. np c(-3) to c z dolnym ujemnym indeksem -3. Nie umiem zapisać dolnego indeksu w Wordpresie.

Rys. 3-18
Wzór na zespolone współczynniki Zespolonego Szeregu Fouriera “bez części rzeczywistej”
W porównaniu do wzoru Rys. 3-14
1. c0 czyli współczynnik składowej stałej jest identyczny
2. Pozostałe współczynniki to połówki z Rys. 3-14 (Bo an i bn to połówki an i bn Rys. 3-14)

Rys. 3-19
Wzór na Zespolony Szereg Fouriera 
Pojawiły się pulsacje ujemne i współczynniki z  ujemnymi indeksami. Jest ich teraz razy więcej z razy mniejszymi modułami, ale w sumie dają tę samą rzeczywistą funkcję f(t)!

Rys. 3-20
Zespolony Szereg Fouriera jako suma wirujących przeciwnie wektorów
Ściślej “Suma wirujących przeciwnie wektorów+ składowa stała c0
Uzasadnienie jest bardzo proste:
Każda para wirujących przeciwsobnie wektorów  to np:
c2exp(j2ωt)+c(-2)exp(-j2ωt)=a2cos(2ωt)+ b2sin(2ωt)
Czyli suma wszystkich par+ składowa stała c0=a0
da nam wzór Rys. 3-3
Czyli wzór Rys. 3-19
W eleganckiej i skondensowanej formie wygląda to tak:

Rys. 3-21
Zespolony Szereg Fouriera
Wzór “bez części rzeczywistej” jest częściej spotykany niż równoważna wersja z “częścią rzeczywistą”.
Dlatego jest to po prostu wzór na Zespolony Szereg Fouriera.
Przy okazji dowiedziałeś się, że istnieje coś takiego jak częstotliwość/pulsacja dodatnia ujemna. Dodatnią mają mają sinusoidy których wektory wirują przeciwnie do wskazówek zegara, ujemną-zgodnie. Kiedyś mnie to intrygowało. Można sobie jakoś wyobrazić, że częstotliwość zerową ma prąd stały. Ale ujemną? Coś bardziej “stałego niż stała”? I jak tu żyć? Teraz już wiem jak.