Szeregi Fouriera

Rozdział 2  Trygonometryczny Szereg Fouriera
Rozdział 2.1 Wstęp

Rys. 2-1
Bardziej przyjazna wersja Szeregu Fouriera-bez znaku sigma gdzie:
a0-składowa stała
pulsacja pierwszej albo inaczej podstawowej harmonicznej
2ω, 3ω…- pulsacje
 kolejnych harmonicznych
a1, a2 …- amplitudy kolejnych harmonicznych cosinusoid
b1, b2 …- amplitudy
kolejnych harmonicznych sinusoid
Pulsacja ω może mieć oczywiście dowolną wartość ale dla uproszczenia rachunków
często przyjmuje się ω=1 albo ω=2π  i wtedy Szereg Fouriera to:

Rys. 2-2
Zauważ, że ω=1 to przebieg wolniejszy odpowiadający okresowi T=2π sek ≅6.28 sek a ω=2π to przebieg szybszy –> T=1sek!

Rozdział 2.2 Wstępna analiza Szeregów Fouriera
Cała sztuka polega na znalezieniu odpowiednich współczynników ω,a0,a1,a2…b1,b2…równania f(t)=… Rys 2-1. Podejdźmy do sprawy, jakby tu powiedzieć, od odwrotnej strony. Tzn. znamy funkcję f(t) i jest nią.

Rys. 2-3
Funkcję f(t) można więc przedstawić jako Szereg Fouriera o parametrach ω=1b1=1b2=0.75 b3=3. Pozostałe parametry tzn. a0, a1,a2..oraz b3,b4… są zerowe. Dokładny wykres f(t) narysujemy wykorzystując program http://pl.easima.com który przy okazji serdecznie polecam. Dla wprawy narysuj sobie kilka dowolnych funkcji. Program jest na tyle prosty, że nie powinno być problemów.

Rys. 2.4
Dokładny wykres f(t) z harmonicznymi.
A teraz wyobraź sobie, że znasz tylko wykres funkcji f(t) ale nie znasz jej wzoru. Wiesz tylko tyle, że są 3 składowe sinusoidalne o nieznanych pulsacjach ω1, ω2 i ω3 i nieznanych amplitudach b1, b2 b3.
Co do składowej stałej a0 to ewidentnie jest a0=0. Pola “nad” i “pod funkcją f(t)” są takie same!
Okres T pierwszej harmonicznej ω1 powinien być taki sam jak funkcji f(t), czyli T=2π! Przecież pierwsza harmoniczna jest pierwszym przybliżeniem tej funkcji. Czyli ω1=ω=1.
A jakie jest ω2 ω3? Powinny być wielokrotnościami ω=1. Najbardziej narzuca się ω2=2ω3=3. Gdyby te pulsacje nie były wielokrotnościami to harmoniczne nie spotkałyby się w t=2π, t=4π … A muszą się spotkać po to by w tych punktach było f(t)=0.  Dzięki temu zresztą wartości f(t) powtarzają się co okres T=2π.
A pozostałe parametry tj amplitudy sinusoid b1, b2 b3? A może by tak badać różne kombinacje tych parametrów i wybrać tę której suma sinusoid jest najbardziej zbliżona do f(t)?  Przypominam, że znamy tylko wykres f(t) ale bez wzoru! Metoda wydaje się prymitywna i pracochłonna.  Jest  jednak często stosowana gdy problemu nie umiemy rozwiązać w sposób ściśle matematyczny.
Ogólna metoda obliczania parametrów Szeregu Fouriera  przedstawiona będzie w rozdziale 2.4.

Rozdział 2.3 Funkcje ortogonalne
Rozdział 2.3.1 Wstęp
Do wyznaczania Szeregów Fouriera musisz coś wiedzieć o tzw. funkcjach ortogonalnych.

Rys. 2-5
Definicja funkcji ortogonalnych
Dla elektryka prąd i napięcie sinusoidalne na cewcefunkcjami ortogonalnymi bo średnia energia w okresie jest zerowa! Przez jedną połowę okresu cewka przyjmuję energię a przez drugą oddaje.
Będziemy badać ortogonalność różnych kombinacji par funkcji sin(nω) i cos(kω). Do tego przyda się program Wolfram Alfa.

Rozdział 2.3.2 Program Wolfram Alfa
Szereg Fouriera wymaga umiejętności całkowania. Aby za głęboko nie wchodzić w matematykę, w jakieś funkcje pierwotne i inne całkowania przez części, wykorzystamy wspaniały program www.wolframalpha.com. Serdecznie polecam. Nie musisz go znać dokładnie. Po wywołaniu programu wpiszesz tylko w okno dialogowe to co każą obrazki. Z samego całkowania wystarczy wiedza, że całka oznaczona jest polem pod funkcją.
Dla przykładu sprawdzimy czy funkcje sin(t) i cos(t) są ortogonalne.
Kliknij www.wolframalpha.com i rób co każe obrazek.

Rys. 2-6
Jak Wolfram Alfa sprawdził ortogonalność funkcji f1(t)=sin(t) f2(t)=cos(t)?
Prościej i bardziej intuicyjnie już się nie da!

Rozdział 2.3.3 Pary sin(nωt) i cos(kωt) są ortogonalne
Ściślej dla dowolnego n,k różnego od 0
Wywołaj www.wolframalpha.com i sprawdź ortogonalność np. dla n=2 i k=3 tj. dla f1(t)=sin(2t) f2(t)=cos(3t)
W okno dialogowe (patrz Rys. 2-6) zamiast “sin t cos t”  wpisz “sin 2t cos 3t”
Wolfram Allfa policzy da coś takiego

Rys. 2-7
Pary sin(nω) i cos(kω) są zawsze ortogonalne. Także dla n=k.
Uogólnienie na dowolne pary sin(nωt) i cos(kωt) pozostawiam matematykom. Uwaga ta dotyczy także następnych badanych par funkcji.

Rozdział 2.3.4 Pary sin(nωt) i sin(kωt) oraz cos(nωt) i cos(kωt) dla n≠k są  ortogonalne
Proponuję samodzielnie sprawdzić Wolframem Alfa ortogonalność par funkcji sin(2t)sin(3t) cos(2t)cos(3t)
Wynik powinien być następujący:

Rys. 2-8
Badanie ortogonalności par funkcji  sin(2t) i sin(3t) oraz cos(2t) i cos(3t) i ich uogólnienie.

Rozdział 2.3.5 Pary sin(nωt) i sin(nωt) oraz cos(nωt) i cos(nωt) nie są  ortogonalne
Proponuję samodzielnie sprawdzić Wolframem Alfa ortogonalność par funkcji sin(2t)sin(2t) cos(2t)cos(2t)
Wynik powinien być następujący:

Rys. 2-9
Badanie ortogonalności par funkcji  sin(2t) i sin(2t) oraz cos(2t) i cos(2t) i ich uogólnienie.
Funkcje nieortogonalne a ich całka= π dla ω=1 i ogólnie całka= T/2 (pół okresu) dla dowolnej pulsacji ω.

Rozdział 2.4 Jakie są parametry a0, a1, a2…an,,, b1,b2…bn Szeregu Fouriera?
Rozdział 2.4.1 Wstęp
Za chwilę przekonasz się jak bardzo ortogonalność ułatwia wyznaczanie Szeregu Fouriera.
Tak przy okazji. Ortogonalne czyli prostopadłe to mogą być wektory, ale funkcje?  W przestrzeniach Hilberta są podobno takowe a jak jest w naszych “ludzkich” przestrzeniach. Tu funkcje sin(ωt) cos(ωt) kojarzą się z wirującymi wektorami z prędkością ω. Wektor cos(ωt)   wyprzedza wektor  sin(ωt) 90º i oba wektory są wzajemnie prostopadłe. Inaczej funkcje sin(ωt) cos(ωt) ortogonalne.

Rozdział 2.4.2 Współczynnik a0
Jest to wartość średnia funkcji f(t) czyli

Rys. 2-10
Współczynnik a0 jako wartość średnia funkcji f(t) w okresie T

Rozdział 2.4.3 Współczynnik a2
Obliczmy np. współczynnik a2

Rys. 2-11
Jak obliczyć współczynnik a2?
Rys. 2-11a Napisz wzór na szereg Fouriera z nieznanymi jeszcze współczynnikami. Wspólczynnik a0 już znamy.
Rys. 2-11b Pomnóż obie strony równania przez cos(2ωt) bo szukamy a2
Rys. 2-11c 
Oblicz całkę oznaczoną obu stron równania w zakresie 0…T
Rys. 2-11d 
Wartości całek zostały obliczone z powołaniem się na odpowiednie rysunki. Całka przy a0 jest zerowa jak to z cosinusem bywa.
Rys. 2-11e Po uwzględnieniu zer na Rys. 2-11d
Rys. 2-11f Ostateczny wzór na a2
Pozostałe współczynniki tj. a1, a3, … an,…b1, b2,…, bn… liczy się podobnie.

Rozdział 2.5 Wyznaczenie Szeregu Fouriera
Przed chwilą wyznaczyliśmy współczynnik a2 Szeregu Fouriera. Podobnie  obliczymy an mnożąc obie strony równania z Rys. 2-11b przez cos(nωt) zamiast przez cos(2ωt). Natomiast jeżeli pomnożymy przez sin(nωt) to otrzymamy współczynnik bn. Uwzględniając jeszcze wzór na a0 Rys. 2-10, ostateczny wzór na współczynniki a0,an bn Szeregu Fouriera wygląda następująco:

Rys. 2-12
Wzór na Szereg Fouriera
Zwróć uwagę na pulsację ω przebiegu funkcji okresowej f(t) i jej związek z okresem T.

Rozdział 2.6 Wyznaczenie Szeregu Fouriera dla fali prostokątnej bezpośrednio ze wzoru
Czyli dla przebiegu czasowego przedstawionego na wykresie.

Rys. 2-13
Fala prostokątna o okresie T=1 odpowiadająca pulsacji ω=2π
Rys 2-2b 
jest szczególnym przypadkiem Szeregu Fouriera akurat dla  ω=2π. Wyznaczmy  a0, a1,a2,…a7 i b1,b2,…b7.  Skorzystamy ze wzoru ogólnego Rys. 2-12. Do obliczenia całek zastosujemy  program Wolfram Alfa opisany w Rozdziale 2.3.2
Rys. 2-14
 to efekt obliczeń współczynników a0a1 b1. Bez bicia przyznam się do niewielkiej korekty-oszustwa. Program policzył a1 jako liczbę niewyobrażalnie małą, ale jednak różną od zaś b1 jako 1.27324 a nie tak jako matematyka rzecze b1=4/π. Tę niedoskonałość poprawiłem, także dla pozostałych współczynników.

Rys. 2-14
Obliczenie a0, a1 b1 dla Szeregu Fouriera fali prostokątnej z Rys 2-13
Pozostałe współczynniki a2, a3,a4,a5,a7 b2,b3,b4,b5,b7 też oblicz Wolframem. Wystarczy tylko wpisać do okna dialogowego w miejsce “w czerwonej obwódce” odpowiednio 4,6,8,10,12 i 14.  Powinna powstać następująca tabelka.

Rys. 2-15
Współczynniki a0,a2, a3,a4,a5,a7 i b1,b2,b3,b4,b5,b7 Szeregu Fouriera fali prostokątnej z Rys. 2-13
Przy okazji. Badana funkcja jest nieparzystą i dlatego wszystkie współczynniki a1, a2, a3… są zerowe. Gdyby była parzystą (np. przesunięta w lewo o 0.25) to współczynniki b1, b2, b3… byłyby zerowe  natomiast a1, a2, a3niezerowe. Jest to zgodne z intuicją.
Zróbmy wykres korzystając z programu http://pl.easima.com

Rys. 2-16
Rozkład fali prostokątnej na  harmoniczne.
A właściwie pierwszych, bo b2=b4=b6=0. Pulsacją pierwszej harmonicznej jest ω=2π. Odpowiada jej okres T=1. Im więcej harmonicznych, tym bardziej ich suma zbliżona jest do fali prostokątnej.

Rozdział 2.7 Wyznaczenie Szeregu Fouriera dla fali prostokątnej korzystając ze specjalnych funkcji programu Wolfram Alfa
Poprzednio wyznaczyliśmy harmonicznych fali prostokątnej korzystając z ogólnych instrukcji całkowania programu Wolframu Alfa. Program dysponuje też wyspecjalizowanymi instrukcjami do wyznaczania Szeregu Fouriera. Wystarczy tylko wpisać je do okna dialogowego a on to policzy i zrobi wykresNawet nie musisz znać się na całkach.
Sprawdźmy Wolfram Alfa dla tej samej fali prostokątnej. Efekt powinien być identyczny.
Nie wchodźmy w szczegóły instrukcji wpisanej do okna dialogowego. Niech wystarczy nam tylko wiedza, że liczy ona parametry Szeregu Fouriera dla fali prostokątnej o parametrach z Rys. 2-13. Policzy nam 7 pierwszych harmonicznych. Gdybyś chciał ich policzyć np. 9  to zamiast 7 wpisz właśnie 9.

Rys. 2-17
Rozkład fali prostokątnej z Rys. 2-13 na 7 harmonicznych
Program pokaże nam dużo różnych rzeczy. Na Rys. 2-17 są tylko te najbardziej istotne. Postać Zespolona Szeregu Fouriera ujęta będzie w Rozdziale 3. Ważne jest to, że wykres i współczynniki  są dokładnie takie same jak w Rozdziale 2.7. A o ile mniej roboty!
To sprawdźmy jeszcze to cudo do wyznaczenia  pierwszych harmonicznych.

Rys. 2-18
Rozkład fali prostokątnej z Rys. 2-13 na 9 harmonicznych
Jest to dokładniejsze przybliżenie fali prostokątnej.
To może np. 17 harmonicznych? Powinno być jeszcze dokładniejsze przybliżenie.

Rys. 2-19
Rozkład fali prostokątnej z Rys. 2-13 na 17 harmonicznych
Wykres dokładniej odzwierciedla falę prostokątną. Nie wyznaczył nam niestety trygonometrycznej wersji Szeregu Fouriera jak poprzednio. Nie jest to wielkim mankamentem, bo odpowiednie  parametry można odczytać z postaci zespolonej.
Przy próbie wyznaczenia 19 i więcej harmonicznych program Wolfram Alfa już nie wyrabia. Podejrzewam, że ma jednak jakieś specjalne furtki. Może płatny Wolfram Alfa Pro da radę?

Rozdział 2.8 Wyznaczenie Szeregu Fouriera dla innych funkcji okresowych
Rozdział 2.8.1 Funkcja 1sin(t)
Ciekawe jak zachowa się  Wolframik przy tak trywialnej funkcji?

Rys. 2-20
Rozkład sin(t) na harmonicznych.
Powyższa instrukcja dotyczy rozkładu funkcji okresowej (tu  sin(t)) na 5 harmonicznych przy dodatkowym założeniu że T=2π czyli ω=1.
Jest oczywiste, że pierwszą harmoniczną jest ta sama funkcja, czyli sin(t) a pozostałe harmoniczne nie istnieją, albo inaczej ich amplitudy są zerowe. Milczące założenie T=2π czyli ω=1 dotyczy także następnych przykładów.

Rozdział 2.8.2 “Piła” czyli funkcja t
Przypominam, że jest to funkcja okresowa o T=2π

Rys. 2-21
Rozkład “piły” czyli funkcji t  na 5 i 9 harmonicznych.
Przybliżenie “piły”  harmonicznymi jest oczywiście dokładniejsze.

Rozdział 2.8.3 Funkcja kwadratowa czyli funkcja t^2

Rys. 2-22
Rozkład funkcji kwadratowej na 5 i 9 harmonicznych. Zauważ, że w zakresie -π…+π przybliżenie harmonicznymi wizualnie nie różni się od funkcji kwadratowej. Przy okazji dowiedzieliśmy się, że istnieje coś takiego jak składowa stała a0. W poprzednich przykładach jej nie było.