Szereg Fouriera

Rozdział 1  Wstęp
Trygonometryczny Szereg Fouriera
Każdą funkcję okresową f(t)  można przybliżyć Szeregiem Fouriera. Tu f(t) jest akurat funkcją czasu t.

Rys. 1-1
Trygonometryczny
rozkład funkcji okresowej f(t) na Szereg Fouriera.
Rys. 1-1a Wzór z użyciem znaku sumy-sigma
Rys. 1-1b Wzór bez użycia tego znaku, który jest chyba bardziej przejrzysty. Lepiej tu widać pulsację ω pierwszej harmonicznej.
Pulsacje
kolejnych harmonicznych to ich wielokrotności. Współczynniki a1,b1,a2,b2… to amplitudy kolejnych sinusoid/cosinusoid.
Rys. 1-1c Przykład funkcji okresowej f(t) o okresie odpowiadającym pulsacji ω.
Powyższe wzory są dokładne tylko dla n=∞. Dla skończonego  są przeważnie tylko przybliżeniem. Dlaczego przeważnie a nie zawsze? Akurat f(t) Rys. 2-3 w następnym rozdziale jest tego przykładem.

Zespolony Szereg Fouriera
Chociaż prostszy to w pierwszej chwili mniej zrozumiały. Można zauważyć analogię do układu słonecznego, w którym Ziemia krąży wokół Słońca,  Księżyc wokół Ziemi itd… Więcej na ten temat w rozdziale 3.

Rys. 1-2
Zespolony
rozkład funkcji okresowej f(t) na Szereg Fouriera.
Rys. 1-2a Wzór z użyciem znaku sumy-sigma
Rys. 1-2b Wzór bez użycia tego znaku. Chyba bardziej przejrzysty.
Wzory są ewidentnie prostsze niż na Rys. 1-1. Niestety użyte współczynniki  są liczbami zespolonymi. W celu przypomnienia proponuję artykuł Liczby zespolone tego blogu.
Zauważ, że po prawej równań jest dość skomplikowana suma liczb zespolonych, której wynikiem jest jednak funkcja rzeczywista f(t)! Składowe urojone nawzajem się skompensowały.

Rys. 1-3
Współczynniki Szeregu Fouriera jako liczby zespolone.